Question

已知椭圆的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：为定值．

Answer

（Ⅰ）依题意，可求得a=2，b2=3，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2，A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，利用韦达定理可得x1+x2=-，x1x2=，从而求得|AQ|=；再设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），可求得，|x4|=，从而得|OP|=•；继而可求得的值．
【解析】
（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，yM）代入椭圆方程+=1，解得yM=±，…（2分）
故=3，可得b2=3．                                                …（4分）
所以，椭圆方程为+=1．                                        …（6分）
（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），
则|AR|=2，…（8分）
设A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，
消去y得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，
x1+x2=-，x1x2=，
则|AQ|=|x1-x2|==．      …（11分）
设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），联立方程组，
消去y得（4k2+3）x2-12=0，|x4|=，
所以|OP|=|x4|=•．                             …（13分）
故==2．
所以等于定值2…（15分）