Question

已知函数 f（x）=x²+2lnx+aln（1+x²）．
（I）若a=求f（x）的极值；
（II）已知f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂
（i） 求a的取值范围
（ii）求证：f（x₁）＜1-4ln2
（III） a=0时，求证[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）

Answer

（I）a=-时求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，由导数符号即可求得其极值；
（II）（i）求导数f′（x）=，令t=x2，问题转化为方程t2+（a+2）t+1=0有两个不同正根，从而有，解出即得a的范围；
（ii）由（i）知x1，x2为方程x4+（a+2）x2+1=0的两根，且结合韦达定理可知，0＜x1＜1，再由a＜-4，得f（x1）=+2lnx1+aln（1+）＜+2lnx1-4ln（1+），令g（x1）=+2lnx1-4ln（1+），利用导数可判断g（x1）的单调性，由单调性得g（x1）＜g（1），整理后即得结论；
（III）a=0时求出，，则左边[f'（x）]n-2n-1f'（xn）=2n （++），令Sn=++，利用倒序相加法可得2Sn，再运用基本不等式即可证明；
【解析】
（I）a=-时，f（x）=x2+2lnx-ln（1+x2）（x＞0），f′（x）=2x+-=，
当0＜x＜时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，
故f（x）极小=f（）=2+ln2-，f（x）极大=f（）=．
（II）由（I）计算过程不难计算出f′（x）=，
令t=x2，故只需t2+（a+2）t+1=0有两个不同正根，即，
所以a的范围为a＜-4．
因此x1，x2为方程x4+（a+2）x2+1=0的两根，且结合韦达定理可知，
0＜x1＜1，再由a＜-4，
所以f（x1）=+2lnx1+aln（1+）＜+2lnx1-4ln（1+），
令g（x1）=+2lnx1-4ln（1+），易知g′（x1）≥0，即g′（x1）单调递增，
所以g（x1）＜g（1）=1-4ln2，从而命题得证．
（III）a=0时，f（x）=x2+ln2x，所以，，
故左边[f'（x）]n-2n-1f'（xn）=2n （++），
令Sn=++，
利用倒序相加法可得，2Sn=（xn-2+）+（xn-4+）+…+（xn-4+）+（+xn-2）
≥2（++…++）=2（2n-2），
从而命题得证．