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点P(x,y)是曲线C:y=manfen5.com 满分网(x>0)上的一个动点,曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A,B两点,点O是坐标原点.给出三个命题:
①|PA|=|PB|;
②△OAB的周长有最小值4+2manfen5.com 满分网
③曲线C上存在两点M,N,使得△OMN为等腰直角三角形.
其中真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
先利用导数求出过点P的切线方程:①由切线方程可求得点A、B的坐标,进而利用两点间的距离公式即可证明;②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长,再利用基本不等式的性质即可证明;③先假设满足条件的点M、N存在,利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在,否则不存在. 【解析】 设动点P(m>0),则,∴, ∴过动点P的切线方程为:. ①分别令y=0,x=0,得A(2m,0),B. 则|PA|=,,∴|PA|=|PB|,故①正确; ②由上面可知:△OAB的周长=≥+=4,当且仅当,即m=1时取等号. 故△OAB的周长有最小值4+2,即②正确. ③假设曲线C上存在两点M,N,不妨设0<a<b,∠OMN=90°. 则,, 所以化为 解得,故假设成立. 因此③正确. 故选D
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