Question

如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点P，，则∠DCB=    ．

Answer

利用相交弦定理可得：CP•PD=AP•PB，可得PB=7．由直径2R=AP+PB=1+7=8，可求得半径R=4，OP=OA-AP=4-1=3．连接DO，在△ODP中，OP2+OD2=32+42=52=PD2，利用勾股定理的逆定理可得∠POD=90°．连接BD，由等腰直角△DOB可得．利用正弦定理可得：，由图可知：∠DCB为锐角，即可求出．
【解析】
由相交弦定理可得：CP•PD=AP•PB，∴=7．
∴直径2R=AP+PB=1+7=8，∴半径R=4．∴OP=OA-AP=4-1=3．
连接DO，在△ODP中，OP2+OD2=32+42=52=PD2，
∴∠POD=90°．
连接BD，由等腰直角△DOB可得：．
由正弦定理可得：，∴，
由图可知：∠DCB为锐角，∴∠DCB=45°．
故答案为45°．