Question

已知函数．
（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x，且a+1＜x＜a+2；
（III）当时，记函数f（x）的零点为x，若对任意x₁，x₂∈[0，x]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：ln2=0.7，，）

Answer

（I）f（x）的定义域为（a，+∞）．．由此能求出题函数f（x）的单调区间．
（II）当-1＜a＜2（ln2-1）＜0时，由（I）知，f（x）的极小值为f（0），极大值为f（a+1）．由此能够证明函数f（x）只有一个零点x，且a+1＜x＜a+2．
（III）因为，所以任意x1，x2∈[0，x]且x2-x1=1，由（II）可知x1∈[0，a+1]，x2∈（a+1，x]，且x2≥1．由此能推导出使得|f（x2）-f（x1）|≥m恒成立的m的最大值．
（I）【解析】
f（x）的定义域为（a，+∞）．
．
令f'（x）=0⇒x=0或x=a+1．
当-1＜a＜0时，a+1＞0，函数f（x）与f'（x）随x的变化情况如下表：

x （a，0） （0，a+1） a+1 （a+1，+∞）
f（x） - + -
f'（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，a+1），单调递减区间是（a，0）和（a+1，+∞）．…（4分）
（II）证明：当-1＜a＜2（ln2-1）＜0时，
由（I）知，f（x）的极小值为f（0），极大值为f（a+1）．
因为f（0）=aln（-a）＞0，，
且f（x）在（a+1，+∞）上是减函数，
所以f（x）至多有一个零点．
又因为，
所以函数f（x）只有一个零点x，且a+1＜x＜a+2．…（9分）
（III）【解析】
因为，
所以任意x1，x2∈[0，x]且x2-x1=1，
由（II）可知x1∈[0，a+1]，x2∈（a+1，x]，且x2≥1．
因为函数f（x）在[0，a+1]上是增函数，在（a+1，+∞）上是减函数，
所以f（x1）≥f（0），f（x2）≤f（1），
∴f（x1）-f（x2）≥f（0）-f（1）．
当时，．
所以f（x1）-f（x2）≥f（0）-f（1）＞0
所以|f（x2）-f（x1）|的最小值为．
所以使得|f（x2）-f（x1）|≥m恒成立的m的最大值为．…（14分）