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将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap(p∈N*)的形式,其中ai∈N*,i=...

将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap(p∈N*)的形式,其中ai∈N*,i=1,2,…,p,且a1≤a2≤…≤ap,记所有这样的表示法的种数为f(n)(如4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,故f(4)=5).
(Ⅰ)写出f(3),f(5)的值,并说明理由;
(Ⅱ)对任意正整数n,比较f(n+1)与manfen5.com 满分网的大小,并给出证明;
(Ⅲ)当正整数n≥6时,求证:f(n)≥4n-13.
(Ⅰ)依题意,3=3,3=1+2,3=1+1+1,可求得f(3)=3;同理可求得f(5)=7; (Ⅱ)结论是f(n+1)≤[f(n)+f(n+2)].可用分析法,只需证f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1);通过构造函数的思想分析即可; (Ⅲ)由第(Ⅱ)问可知:当正整数m≥6时,f(m)-f(m-1)≥f(m-1)-f(m-2)≥…≥f(6)-f(5);而f(6)=11,f(5)=7,于是 f(m)-f(m-1)≥4*;分别取m为6,7,…,n,将所得等式相加即可. 【解析】 (Ⅰ)因为3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以f(3)=3. 因为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1, 所以f(5)=7. (Ⅱ)结论是f(n+1)≤[f(n)+f(n+2)]. 证明如下:由结论知,只需证f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1). 因为n+1≥2,把n+1的一个表示法中a1=1的a1去掉,就可得到一个n的表示法;反之,在n的一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个n+1的表示法,即n+1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数, 所以f(n+1)-f(n)表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数,f(n+2)-f(n+1)是n+2的表示法中a1≠1的表示法数. 同样,把一个a1≠1的n+1的表示法中的ap加上1,就可得到一个a1≠1的n+2的表示法,这样就构造了从a1≠1的n+1的表示法到a1≠1的n+2的表示法的一个对应. 所以有f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1). (Ⅲ)由第(Ⅱ)问可知: 当正整数m≥6时,f(m)-f(m-1)≥f(m-1)-f(m-2)≥…≥f(6)-f(5). 又f(6)=11,f(5)=7,所以 f(m)-f(m-1)≥4.* 对于*式,分别取m为6,7,…,n,将所得等式相加得f(n)-f(5)≥4(n-5). 即f(n)≥4n-13.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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