Question

实数对（x，y）满足不等式组，则目标函数z=kx-y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是    ．

Answer

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．将目标函数z=kx-y对应的直线进行平移，当且仅当l经过点C（3，1）时目标函数z达到最大值，由此观察直线斜率的范围结合斜率计算公式，即可得到l斜率k的取值范围．
【解析】
作出不等式组 ，表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）
设z=F（x，y）=kx-y，将直线l：z=kx-y进行平移，
可得直线在y轴上的截距为-z，因此直线在y轴上截距最小时目标函数z达到最大值
∵当且仅当l经过点C（3，1）时，目标函数z达到最大值
∴直线l的斜率应介于直线AC斜率与直线BC斜率之间，
∵kAC==-，kBC==1
∴k的取值范围是（-，1）
故答案为：（-，1）．