Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer

（1）求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；
（2）确定函数的定义域，求导函数．利用导数的正负，分类讨论，即可求得和的单调区间．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x2-3x+lnx，f′（x）=2x-3+．         
因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程为 y=-2．                                     
（2）函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+=（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）===0，
所以x=或x=．          
①a＞2时，令f′（x）＞0，可得x＞或；令f′（x）＜0，可得＜x＜；
②a=2时，f′（x）≥0恒成立；
③0＜a＜2时，令f′（x）＞0，可得x＞或；令f′（x）＜0，可得＜x＜；
④a≤0时，令f′（x）＞0，可得；令f′（x）＜0，可得x＞；
∴a＞2时，函数的单调增区间是（0，），（）；单调减区间为（，）；a=2时，f（x）在（0，+∞上单调递增；0＜a＜2时，函数的单调增区间是（，+∞），（0，）；单调减区间是（，）；a≤0时，函数的单调增区间是（0，）；单调减区间是（，+∞）．