Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，=其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设P（x，y），已知|OP|=，=，可得，即可解得c，再利用及a2=b2+c2即可；
（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．设点A（x1，y1），B（x2，y2）．把直线l：代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，只有证明=0即可．
【解析】
（1）设P（x，y），∵|OP|=，=，
∴，化为，
解得．
又，解得．
∴椭圆C的方程为；
（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：
设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
把直线l：代入椭圆方程得，
∴，．
∴=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）
=
=（1+k2）x1x2++4+
=++4+
=
=0．
∴MA⊥MB．
即以AB为直径的圆恒过这个定点M（-2，0）．