Question

已知等比数列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=21og₃a_n，求证：数列{b_n}成等差数列；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式…．对一切，n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）直接由3a2、2a3、a4成等差数列列式求出公比q的值，则数列{an}的通项公式可求；
（2）把数列{an}的通项公式代入bn=21og3an整理即可得到结论；
（3）令，则不等式等价于（-1）n+1λ＜cn，作比后得到数列{cn}的单调性，分n的奇偶性求出数列{cn}的最小值，从而得到结论．
【解析】
（1）由3a2，2a3，a4 成等差数列，
所以4a3=a4+3a2，即4．∵a1≠0，q≠0，
∴q2-4q+3=0，即（q-1）（q-3）=0．
∵q≠1，∴q=3，
由a1=3，得；
（2）∵，∴．
得bn-bn-1=2．
∴{bn}是首项为9，公差为2的等差数列；
（3）由bn=2n，
设，则不等式等价于（-1）n+1λ＜cn．
=．
∵cn＞0，∴cn+1＞cn，数列{cn}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使的不等式（-1）n+1λ＜cn对一切n∈N*都成立，则
①当n为奇数时，得；
当n为偶数时，得，即．
综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．