Question

已知椭圆：=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于．
（1）求椭圆的方程．
（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F₁F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线QF₁的倾斜角为，求△QF₁F₂的面积；
（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．

Answer

（1）易知b=1，由离心率为，得，再由a2=b2+c2可求得a，于是得到椭圆方程；
（2）易求直线QF1的方程，与椭圆方程联立可求得点Q的坐标，由三角形面积公式得=，代入即可求得答案；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-x+1，分别于椭圆方程联立可求得点A、C的横坐标，由|AB|=|BC|得点A、C的横坐标的方程，综上可得关于k的方程，解出即可；
【解析】
（1）依题意，b=1，因为离心率等于，
所以，解得a2=4，
所以椭圆方程为：；
（2）F1（-，0），直线QF1：y=，代入中，
得，，又，
所以==；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-x+1，
由，得（4k2+1）x2+8kx=0，解得①，
由，得（k2+4）x2-8kx=0，解得②，
因为|AB|=|BC|，得：，
将yA=kxA+1，代入得：
，，
将①②代入得：k2（4+k2）2=（4k2+1）2，即[k（4+k2）+1+4k2][k（4+k2）-（1+4k2）]=0，
因为k＞0，k（4+k2）+1+4k2＞0，得（k-1）（k2-3k+1）=0，
解得k=1，k=，k=，
所以存在这样的等腰直角三角形．