Question

已知函数f（x）=ax²-e^x（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，求实数a的取值范围；
（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤-x-1恒成立，求实数a的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；
（Ⅱ）先构造函数g（x）=f′（x），再将题意转化为x1，x2是方程g（x）=0的两个实根，再求出g′（x），对a进行分类分别求出g（x）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于a的不等式求解；
（Ⅲ）由题意先构造函数h（x）=ex-ax2-x-1，转化为h（x）≥0在[0，+∞）恒成立问题，再求出h（x）的单调性和最小值，关键是对a进行分类后，得到“当a=0时，ex≥1+x”这一结论在后面的应用．
心理年龄【解析】
（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x2-ex，
∴f′（x）=2x-ex，则切线的斜率为f′（0）=-1，
∵f（0）=-e=-1，
∴所求的切线方程为：x+y+1=0；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax-ex，
由题意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax-ex=0）的两个实根，
则g′（x）=2a-ex，
当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，
当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，
当x∈（-∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（-∞，ln2a）上递增，
当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（-∞，ln2a）上递减，
∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a，
∵方程g（x）=0（即2ax-ex=0）有两个实根，
∴2aln2a-2a＞0，解得2a＞e即，
（Ⅲ）设h（x）=ex-ax2-x-1，则由题意得h（x）=ex-ax2-x-1≥0在[0，+∞）恒成立，
则h′（x）=ex-2ax-1，
当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，
∴h′（x）=ex-2ax-1≥1+x-2ax-1=x（1-2a），
当1-2a≥0时，即a≤，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=e-0-1=0，即h（x）≥0，
因而a≤时，h（x）≥0，
下面证明a＞时的情况：
由ex≥1+x得，e-x≥1-x，即x≥1-e-x，
∴h′（x）=ex-1-2ax≤ex-1-2a（1-e-x）=e-x（ex-1）（ex-2a）
当ex＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0，
因此，对于x≥0，f（x）≤-x-1不恒成立，
综上所得，a的最大值为．