Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）求三棱锥C-OEF的体积．

Answer

（1）欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，则AF⊥CB，而AF⊥BF，满足定理所需条件；
（2）由面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，即棱锥的高为CB，根据正△OEF的边长为半径，可求出底面面积，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
证明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF∵AF⊂平面ABEF
∴AF⊥CB
又AB为圆O的直径∴AF⊥BF
∴AF⊥平面CBF
【解析】
（2）过点F作FG⊥AB于G
∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高
∴FG=
∴S△OBC=
（2）【解析】
由（1）知CB⊥平面ABEF，即CB⊥平面OEF，
∴三棱锥C-OEF的高是CB，
∴CB=AD=1，…（8分）
连接OE、OF，可知OE=OF=EF=1
∴△OEF为正三角形，
∴正△OEF的高是，…（10分）
∴三棱锥C-OEF的体积v=•CB•S△OEF=，…（12分）