Question

如图，一个正△ABC'和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=8，BD=AD=，AB，DE的中点分别为F，G．现沿直线AB将△ABC'翻折成△ABC，使二面角C-AB-D为120°，设CE中点为H．
（Ⅰ）（i）求证：平面CDF∥平面AGH；（ii）求异面直线AB与CE所成角的正切值；
（Ⅱ）求二面角C-DE-F的余弦值．

Answer

解法一：（Ⅰ）（i）先证明FD∥平面AGH，CD∥平面AGH，再利用面面平行的判定定理，即可证明平面CDF∥平面AGH；
（ii）确定∠CED或其补角即为异面直线AB与CE所成的角，再用余弦定理，即可求异面直线AB与CE所成角的正切值；
（Ⅱ）确定∠CDF即为二面角C-DE-F的平面角，再用余弦定理求二面角C-DE-F的余弦值．
解法二：（Ⅰ）（i）同解法一；
（ii）建立空间直角坐标系，确定的坐标，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AB与CE所成角的正切值；
（Ⅱ）确定平面CDE、平面DEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C-DE-F的余弦值．
解法一：（Ⅰ） （i）证明：连FD．因为ABDE为平行四边形，F、G分别为AB、DE中点，
所以FDGA为平行四边形，所以FD∥AG．----------------------（1分）
又H、G分别为CE、DE的中点，所以HG∥CD．------------------（2分）
因为FD、CD⊄平面AGH，AG、HG⊂平面AGH，所以FD∥平面AGH，CD∥平面AGH，
而FD、CD⊂平面CDF，所以平面CDF∥平面AGH．---------------（4分）
（ii）【解析】
因为DE∥AB，所以∠CED或其补角即为异面直线AB与CE所成的角．-----------（5分）
因为ABC为正三角形，BD=AD，F为AB中点，所以AB⊥CF，AB⊥DF，从而AB⊥平面CFD，
而DE∥AB，所以DE⊥平面CFD，
因为CD⊂平面CFD，所以DE⊥CD．--------------------------（7分）
由条件易得，
又∠CFD为二面角C-AB-D的平面角，所以∠CFD=120°，
所以，
所以．---------------------（9分）
（Ⅱ） 【解析】
由（Ⅰ）的（ii）知DE⊥平面CFD，即CD⊥DE，FD⊥DE，所以∠CDF即为二面角C-DE-F的平面角．---（12分）
所以．---------------（14分）
解法二：（Ⅰ） （i）同解法一；
（ii） 因为ABC为正三角形，BD=AD，F为AB中点，所以AB⊥CF，AB⊥DF，从而∠CFD为二面角C-AB-D的平面角且AB⊥平面CFD，而AB⊂平面ABDE，所以平面CFD⊥平面ABDE．
作CO⊥平面ABDE于O，则O在直线DF上，又由二面角C-AB-D的平面角为∠CFD=120°，故O在线段DF的延长线上．
由得．--------（6分）
以F为原点，FA、FD、FZ为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，则由上述及已知条件得各点坐标为A（0，4，0），B（0，-4，0），，，，
所以，．----------------（8分）
所以异面直线AB与CE所成角的余弦值为，
从而其正切值为．------------------------------（10分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）的（ii）知，
设平面CDE的法向量为=（x，y，z），则由⊥，⊥得
令，得=．-----------（12分）
又平面DEF的一个法向量为=（0，0，1），而二面角C-DE-F为锐二面角，
所以二面角C-DE-F的余弦为．-------------（14分）