Question

已知椭圆C：=1（a＞）的右焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点N关于x轴的对称点为N₁，且直线N₁M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由圆D：（x-2）2+y2=1，令y=0，解得圆D与x轴交与两点（3，0），（1，0）．在椭圆中c=3或c=1，又b2=3，得到a2=12或a2=4（舍去，因为）．即可得到椭圆的方程．
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），则N1（x2，-y2）．直线l的方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，对于直线N1M的方程，令y=0，即可得到点P的坐标；
解法一：利用三角形的面积计算公式，把根与系数的关系代入，再利用基本不等式的性质即可得出m的取值与三角形PMN的最大值．．
解法二：利用弦长公式=，及点P到直线l的距离公式求出点P到直线MN的距离d，再利用二次函数的单调性即可得出．
【解析】
（Ⅰ）由题设知，圆D：（x-2）2+y2=1，令y=0，
解得圆D与x轴交与两点（3，0），（1，0）．
所以，在椭圆中c=3或c=1，又b2=3，
所以，a2=12或a2=4（舍去，因为）．
于是，椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则N1（x2，-y2）．
联立方程（m2+4）y2+6my-3=0，
所以，．
因为直线N1M的方程为，令y=0，
则===，
所以得点P（4，0）．
解法一：
==．

当且仅当m2+1=3即时等号成立．
故△PMN的面积存在最大值1．
（或：．
令，
则．
当且仅当时等号成立，此时m2=2．
故△PMN的面积存在最大值为1．
解法二：=．
点P到直线l的距离是．
所以，=．
令，
则．
当且仅当时等号成立，此时m2=2．
故△PMN的面积存在最大值为1．