Question

已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在区间[1，e]上的最值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．（注：e是自然对数的底数，约等于2.71828）

Answer

（Ⅰ）当a=2时判断f′（x）在[2，e]，[1，2]上的符号，从而得知函数的单调性，进而求极值，再与端点处函数值作比较，可得函数最值；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）≥0，得   （*）．分0＜x＜1，x≥1两种情况进行讨论：当0＜x＜1时易判断；当x≥1时，再按a≤1，a＞1两种情况讨论，分离出参数a后转化为函数最值可解；
【解析】
（Ⅰ） 若a=2，则f（x）=x|x-2|-lnx．
当x∈[2，e]时，f（x）=x2-2x-lnx，，
所以函数f（x）在[2，e]上单调递增；
当x∈[1，2]时，f（x）=-x2+2x-lnx，．
所以函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以f（x）在区间[1，2]上有最小值f（2）=-ln2，
又因为f（1）=1，f（e）=e（e-2）-1，而e（e-2）-1＜1，
所以f（x）在区间[1，e]上有最大值f（1）=1．
（Ⅱ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由f（x）≥0，得．   （*）
（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，，
不等式（*）恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）当x≥1时，
①当a≤1时，由得，即，
现令，则，
因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增，
从而h（x）的最小值为1，因为恒成立等价于a≤h（x）min，
所以a≤1；
②当a＞1时，|x-a|的最小值为0，而，显然不满足题意．
综上可得，满足条件的a的取值范围是（-∞，1]．