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已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,其渐近线方程是y=±manfen5.com 满分网x,双曲线过点P(6,6).
(1)求双曲线方程
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论.
(1)设出双曲线方程,利用渐近线方程是y=±x,双曲线过点P(6,6),建立方程组,求出几何量,即可得到双曲线的方程; (2)利用点差法,结合韦达定理求出直线方程,利用判别式进行验证,即可得到结论. 【解析】 (1)如图,设双曲线方程为…(1分) 由已知渐近线方程是y=±x,双曲线过点P(6,6),得…(3分) 解得…(5分) 所以所求双曲线方程为 …(6分) (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0), ∴其重心G的坐标为(2,2)…(8分) 假设存在直线l,使G(2,2)平分线段MN, 设M(x1,y1),N(x2,y2)  则有x1+x2=4,y1+y2=4 ∵, ∴两式相减可得,∴kl=…(10分) ∴l的方程为y=(x-2)+2(12分) 代入椭圆方程,消去y,整理得x2-4x+28=0  ∵△=16-4×28<0,∴所求直线l不存在 …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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