Question

已知集合A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i至少一个属于A．
（1）分别判断集合M={0，2，4}与N=（1，2，3）是否具有性质P，并说明理由；
（2）①求证：0∈A；②求证：a₁+a₂+a3+…+a_n=；
（3）研究当n=3，4和5时，集合A中的数列{a_n}是否一定成等差数列．

Answer

（1）利用新定义，可以判断集合M={0，2，4}具有性质P，N={1，2，3}不具有性质P；
（2）①若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，从而可得0∈A；
②令j=n，i＞1，可得an-ai属于A，证明an=ai+an+1-i，倒序相加即可得到结论；
（3）确定a1=0，再利用新定义，即可判断具有性质P的集合A中的数列{an}是否一定成等差数列．
（1）【解析】
集合M={0，2，4}具有性质P，N={1，2，3}不具有性质P．
∵集合M={0，2，4}中，aj+ai与aj-ai（1≤i≤j≤2）两数中都是该数列中的项，4-2是该数列中的项，
∴集合M={0，2，4}具有性质P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，则由题意得3+3和3-3至少一个一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是这个集合的元素，而此集合没有0，故不具有性质P；
（2）证明：①若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴0∈A；
②令j=n，i＞1，则∵“ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A”，
∴ai+aj不属于A，∴an-ai属于A
令i=n-1，那么an-an-1是集合A中某项，a1不行，是0，a2可以．
如果是a3或者a4，那么可知an-a3=an-1，那么an-a2＞an-a3=an-1，只能是等于an了，矛盾．
所以令i=n-1可以得到an=a2+an-1，
同理，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到an=ai+an+1-i，
∴倒序相加即可得到；
（3）【解析】
n=3时，∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3
∴a2+a3与a3-a2至少有一个是该数列中的一项，
∵a1=0，a2+a3不是该数列的项，∴a3-a2=a2，∴a1+a3=2a2，数列{an}一定成等差数列；
n=4时，∵数列a1，a2，a3，a4具有性质P，0≤a1＜a2＜a3＜a4，
∴a3+a4与a4-a3至少有一个是该数列中的一项，
∵a3+a4不是该数列的项，∴a4-a3=a2，或a4-a3=a3，
若a4-a3=a2，则数列{an}一定成等差数列；若a4-a3=a3，则数列{an}不一定成等差数列；
n=5时，∵数列a1，a2，a3，a4，a5有性质P，0≤a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
∴a4+a5与a5-a4至少有一个是该数列中的一项，
∵a4+a5不是该数列的项，∴a5-a4=a2，或a5-a4=a3，或a5-a4=a4，
若a5-a4=a4，a4-a3=a2，则数列{an}一定成等差数列；若a5-a4=a2，或a5-a4=a3，则数列{an}不一定成等差数列．