Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=．
（Ⅰ）求证：PA₁⊥BC；
（Ⅱ）求证：PB₁∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求V_A1-ADC1．

Answer

（I）取B1C1的中点Q，连接A1Q，PQ．利用等腰三角形底边上的性质可得A1Q⊥B1C1，PQ⊥B1C1，利用线面垂直的判定定理可得B1C1⊥平面PQA1，即可得到结论；
（II）连接BQ，在△PB1C1中，由PB1=PC1=，B1C1=2，Q为B1C1的中点，可得PQ=1，BB1=PQ，BB1∥PQ．得到四边形BB1PQ为平行四边形．于是PB1∥BQ．又BQ∥DC1，利用平行线的传递性可得PB1∥DC1，再利用线面平行的判定定理即可得到PB1∥平面AC1D．
（III）作DE⊥AC，则DE⊥平面AA1C1，DE=DC•sin60°=．即可得到，根据=即可得到体积．
（I）证明：取B1C1的中点Q，连接A1Q，PQ．
∵A1B1=A1C1，PB1=PC1，∴A1Q⊥B1C1，PQ⊥B1C1，
又PQ∩A1Q=Q，∴B1C1⊥平面PQA1，
∴BC⊥PA1．
（II）证明：连接BQ，在△PB1C1中，∵PB1=PC1=，B1C1=2，Q为B1C1的中点，
∴PQ=1，BB1=PQ，BB1∥PQ．
∴四边形BB1PQ为平行四边形．
∴PB1∥BQ．又BQ∥DC1，
∴PB1∥DC1，
∵PB1⊄平面AC1D，DC1⊂平面AC1D，
∴PB1∥平面AC1D．
（III）【解析】
作DE⊥AC，则DE⊥平面AA1C1，DE=DC•sin60°=．
==1．
∴===．