Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y²=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
（1）求p，t的值．
（2）求△ABP面积的最大值．

Answer

（1）通过点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．列出方程，求出p，t的值即可．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k≠0），利用推出AB的方程y-m=．利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S==|1-2（m-m2）|．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值．
【解析】
（1）由题意可知得，．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），
由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），
由得，（y1-y2）（y1+y2）=x1-x2，
故k•2m=1，
所以直线AB方程为y-m=．
即△=4m-4m2＞0，y1+y2=2m，y1y2=2m2-m．
从而|AB|==，
设点P到直线AB的距离为d，则
d=，
设△ABP的面积为S，则
S==|1-2（m-m2）|．
由△=＞0，得0＜m＜1，
令u=，，则S=u（1-2u2），，
则S′（u）=1-6u2，S′（u）=0，得u=，
所以S最大值=S（）=．
故△ABP面积的最大值为．