Question

设f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（I）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer

（I）利用导数的运算法则可得，通过分类讨论的大小关系，再根据导数与函数单调性的关系即可得出单调区间；
（II）由x=1时，f（x）有极值，得到f′（1）=0，即可得到a的值，再求出其单调递增区间，即可得出．
【解析】
（I）f′（x）=ex（ax2+x+1）+ex（2ax+1）=ex[ax2+（2a+1）x+2]=．
（i）当时，恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．
（ii）当时，则，即．
由f′（x）＞0，解得；当f′（x）＜0时，解得．
∴函数f（x）在区间和（-2，+∞）上单调递增；在上单调递减．
（iii）当时，则，即．
由f′（x）＞0，解得；由f′（x）＜0，解得．
∴函数f（x）在区间（-∞，-2）和（-，+∞）上单调递增；在上单调递减．
（II）∵当x=1时，f（x）有极值，∴f′（1）=0．∴，解得a=-1．
∴f（x）=ex（-x2+x+1），f′（x）=-ex（x-1）（x+2）．
令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上单调递增，
∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．