Question

已知函数f（x）=（x≥1）．
（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（I）求导函数，确定导函数的符号，可得函数的单调性；
（II）f（x）恒成立，即≥k恒成立，确定左边对应函数的最小值，即可求得k的范围．
【解析】
（I）求导函数，可得
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减；
（II）f（x）恒成立，即≥k恒成立，
记g（x）=，则g′（x）=
再令h（x）=x-lnx，则h′（x）=
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0  
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增
∴[g（x）]min=g（1）=2
∴k≤2．