Question

已知F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
（Ⅰ）求动点P的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M，且与直线x=-1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点E？若存在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设出P点坐标，求出向量，代入坐标后直接得抛物线方程；
（Ⅱ）联立直线方程和抛物线方程，由判别式等于0得到m与k的关系，从而把M和N的坐标用含有m的代数式表示，设出E点坐标，由ME⊥NE代入坐标整理即可得到E点坐标．
【解析】
（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），由，得
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化简得y2=4x；
（Ⅱ）由，得k2x2+（2km-4）x+m2=0，
由△=0，得km=1，从而有M（m2，2m），，
设点E（x，0），使得ME⊥NE，则．
（1-x）m2+x2+x-2=0，得x=1．
所以存在一个定点E（1，0）符合题意．