Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上，又∠BAD=90°，BC∥AD，且BC：AB：AD=1：2：2．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）若PO=BC，求直线PD与AB所成的角；
（3）若平面APB与平面PCD所成的角为60°，求的值．

Answer

（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，求出向量，的坐标，代入数量积公式，验证其数量积与0的关系，即可得到结论．
（2）由PO=BC，得h=a，求出向量，的坐标，代入向量夹角公式，即可求出直线PD与AB所成的角；
（3）求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的角为60°，构造关于h的方程，解方程即可得到的值．
【解析】
因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz（如图）．
（1）设BC=a，OP=h则依题意得：B（a，0，0），A（-a，0，0），
P（0，0，h），C（a，a，0），D（-a，2a，0）．
∴=（2a，a，0），=（-a，2a，-h），（4分）
于是•=-2a2+2a2=0，∴PD⊥AC；
（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），（5分）
∵=（2a，0，0），=（-a，2a，-a），
∴•=-2a2，cos＜，＞==，
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为；
（3）设平面PAB的法向量为m，可得m=（0，1，0），
设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），由=（a，a，-h），=（-a，2a，-h），
∴，解得n=（1，2，），∴m•n=2，
cos＜m，n＞=，
∵二面角为60°，∴=4，
解得=，即=．（5分）