Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．
（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．
（2）若△AOB的面积为，求向量的夹角．

Answer

（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（-1，0）．设直线l的方程为x=my-1，将抛物线C的方程y2=4x与直线l的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求得kAT+kBT，设点T（t，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得kTA+kTB=0，利用韦达定理，即可求得a=1．
（2）根据三角形的面积公式得S△ABC=|OF||y1-y2|=|y1-y2|=，从而有|y1-y2|=5，再设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB=θ，利用斜率公式得出kOA和kOB，设θ=|α-β|，再利用夹角公式，即可求出答案．
【解析】
（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（-1，0）-------（1分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my-1，代入y2=4x得
y2-4my+4=0，△=16m2-16＞0，得m2＞1，
--------（2分）
假设存在T（a，0）满足题意，则kAT+kBT==
==0．∴8m-4m（1+a）=0，
∴a=1，∴存在T（1，0）----------------（6分）
（2）S△ABC=|OF||y1-y2|=|y1-y2|=
∴|y1-y2|=5----------------（7分）
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB=θ
kOA====tanα，kOB==tanβ--------（9分）
设θ=|α-β|，
∴tanθ=|tan（α-β）|=||=||==1------（11分）
∴----------------------（12分）