Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=1nx-ax²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先利用函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称得：f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（-x，y）在g（x）的图象上；然后再利用x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，则f（x）=g（-x）求出一段解析式，再利用定义域内有0，可得f（0）=0；最后利用其为奇函数可求x∈（0，1]时对应的解析式，综合即可求函数f（x）的解析式；
（2）先求出f（x）在（0，1]上的导函数，利用其导函数求出其在（0，1]上的单调性，进而求出其最大值，只须让起最大值与1相比即可求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（-x，y）在g（x）的图象上．
当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，则f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax2．（2分）
∵f（x）为[-1，1]上的奇函数，则f（0）=0．（4分）
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax2．（6分）
∴f（x）=（7分）
（2）由（1）知，f'（x）=-+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则-0⇒a．
此时，a，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=a，
∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②当a时，令f'（x）=-⇒x=∈（0，1]，
∴当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（）=-ln+a=ln2a+．
由|f（x）|≥1，得ln2a+≥1⇒．（15分）
综上所述，实数a的取值范围为a．（16分）