Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=4．
（1）求三棱ABC-A₁B₁C₁的表面积S；
（2）设E为棱BB₁的中点，求异面直线A₁E与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（1）利用S=2S△ABC+S侧，可求三棱柱ABC-A1B1C1的表面积S；
（2）取CC1中点F，连结EF、A1F．确定∠A1EF就是异面直线A1E与BC所成角（或其补角），在△A1EF中，利用余弦定理可求结论．
【解析】
（1）S△ABC==，…（1分）  
S侧=6×4=24． …（3分）
所以S=2S△ABC+S侧=2+24．   …（5分）
（2）取CC1中点F，连结EF、A1F．
因为EF∥BC，所以∠A1EF就是异面直线A1E与BC所成角（或其补角）．…（7分）
在△A1EF中，EF=2，A1E=A1F=2，
cos∠A1EF=，…（3分）
所以∠A1EF=arccos…．…（11分）
所以异面直线A1E与BC所成角的大小为arccos．…（12分）