Question

如图，角θ的始边OA落在x上轴，其始边、终边分别与单位圆交于点A、C（0＜θ＜），△AOB为等边三角形．
（1）若点C的坐标为（），求cos∠BOC的值；
（2）设f（θ）=|BC|²，求函数f（θ）的解析式和值域．

Answer

（1）由题意可得，∠BOC=θ+，因为点C的坐标为（，），求得sinθ= 和cosθ 的值，再利用两角和的余弦公式求得cos∠BOC=cos（θ+） 的值．
（2）在△BOC中，由余弦定理，求得 f（θ ）=2-2cos（θ+ ），根据 0＜θ＜，利用余弦函数的定义域和值域求得f（θ）的值域．
【解析】
（1）由题意可得，∠BOC=θ+，因为点C的坐标为（，），
所以，sinθ=，cosθ=．…（3分）
所以，cos∠BOC=cos（θ+）=-=．…（6分）
（2）在△BOC中，由余弦定理，BC2=OB2+OC2-2OB•OC•cos∠BOC，…（7分）
所以，f（θ ）=2-2cos（θ+ ）．…（10分）
因为 0＜θ＜，所以＜θ+＜，…（11分）
所以，f（θ）∈（1，2+）．…（13分）
因此，函数f（θ ）=2-2cos（θ+ ） （0＜θ＜ ），即f（θ）的值域是（1，2+）．（14分）