Question

设向量，（n∈N^*），函数在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，又数列{b_n}满足b₁=1，．
（1）求证：a_n=n+1；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用函数在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，结合向量数量积公式，可得结论；
（2）再写一式，两式相减，即可求数列{bn}的通项公式；
（3）由题意，ck为{cn}的最大项，则k≥2，要使ck为最大值，则，解不等式，即可求得k的取值．
（1）证明：由已知，y=x（x+n）+2（2x-1）=x2+（4+n）x-2…（2分）
而函数y在x∈[0，1]上是增函数，…（3分）
所以an=-2+1+4+n-2=n+1．…（4分）
（2）【解析】
因为，
所以（n≥2），…（6分）
两式相减，得bn=（n≥2）．…（8分）
所以，数列{bn}的通项公式为bn=…（10分）
（3）【解析】
因为c1=-a1•b1=-2＜0，cn=-an•bn=＞0（n≥2），…（12分）
由题意，ck为{cn}的最大项，则k≥2，
要使ck为最大值，则 …（13分）
即   …（14分）
解得k=9或k=8． …（15分）
所以存在k=8或9，使得cn≤ck成立．…（16分）