Question

已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．
（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；
（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；
（3）若对任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（1）依题意，原方程可化为2x2+（1-b）x-a=0，由即可解得a、b的值；
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；利用定义证明时，先设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，再作差f（x2）-f（x1）后化积讨论即可；
（3）依题意得，可解得到b≤，从而可得实数b的取值范围．
【解析】
（1）由已知，方程）=x++b=3x+1有且仅有一个解x=2，
因为x≠0，故原方程可化为2x2+（1-b）x-a=0，…（1分）
所以，…（3分）解得a=-8，b=9．…（5分）
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．…（7分）
证明：设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=x2+-x1-=（x2-x1）•，
因为x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，
所以x2-x1＞0，x1x2＞a，
所以f（x2）-f（x1）＞0．…（10分）
所以f（x）在（，+∞）上是增函数．…（11分）
（3）因为f（x）≤10，故x∈[，1]时有f（x）max≤10，…（12分）
由（2），知f（x）在区间[，1]的最大值为f（）与f（1）中的较大者．…（13分）
所以，对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，当且仅当，
即对任意的a∈[，2]成立．…（15分）
从而得到b≤．  …（17分）
所以满足条件的b的取值范围是（-∞，]．  …（18分）