Question

给出下列四个命题：
①命题“若X²=1，则x=1”的否命题为：“若：x²=1，则x≠0”；
②命题“∃x∈R，x²+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x²+x-1＞0”；
③命题“若：x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；
④“x=-1”是“x²-5x-6=0的必要不充分条件．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①根据否命题的定义：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题，把题中条件与结论互换；
②根据否命题的定义把小于改为大于等于；
③利用三角函数的知识看x=y与sinx=siny是否能够互相，判断原命题的真假，从而得出其逆否命题的真假；
④解出方程x2-5x-6=0的根，再判断其与x=-1的逻辑关系；
【解析】
①若x2=1，则x=1”的否命题：若为x=1则x2=1；故①错误；
②命题“∃x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x-1≥0”，故②错误；
③∵x=y⇒sinx=siny，
反之如果sinx=siny，例如sin=sin=，但≠，
所以sinx=siny，推不出x=y，
∴原命题是真命题，
∴原命题的逆否命题为真命题，故③正确；
④∵x2-5x-6=0，∴（x+1）（x-6）=0，
解得x=-1或6，
∴x=-1⇒x=-1或6，反之则不能，
∴“x=-1”是“x2-5x-6=0的充分不必要条件，故④错误．
∴真命题的个数是 1，
故选A．