Question

设数列{a_n}的通项公式为，数列{b_n}满足，（t∈R，n∈N^*）．
（1）试确定实数t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（2）当数列{b_n}为等差数列时，对每个正整数k，在a_k和a_k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

Answer

（1）确定数列{bn}的前3项，利用等差数列的定义，即可确定实数t的值；
（2）先确定cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，再分组求和，结合整除的性质，即可得到结论．
【解析】
（1）当n=1时，，得b1=2t-4，
同理：n=2时，得b2=16-4t；n=3时，得b3=12-2t，则由b1+b3=2b2，得t=3．…（2分）
而当t=3时，，得bn=2n
由bn+1-bn=2，知此时数列{bn}为等差数列．…（4分）
（2）由题意知，c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…
则当m=1时，T1=2≠2c2=4，不合题意，舍去；
当m=2时，T2=c1+c2=4=2c3，所以m=2成立； …（6分）
当m≥3时，若cm+1=2，则Tm≠2cm+1，不合题意，舍去；
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，则
=（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=，…（9分）
又，
所以2k+1+2k2+2k-2=2×2k+1，即2k-k2-k+1=0，
所以2k+1=k2+k=k（k+1）
因为2k+1（k∈N*）为奇数，而k2+k=k（k+1）为偶数，所以上式无解．
即当m≥3时，Tm≠2cm+1
综上所述，满足题意的正整数仅有m=2．…（12分）