Question

已知点P是圆O：x²+y²=3上动点，以点P为切点的切线与x轴相交于点Q，直线OP与直线x=1相交于点N，若动点M满足：，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F（2，0）的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点A，B，设，问在x轴上是否存在定点E，使得？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）设点M的坐标为（x，y），相应的点P的坐标为（x，y），进而可得直线PQ和OP的方程，求得Q和N的坐标，进而可x和y分别表示出x和y，代入圆方程即可得到曲线C的方程．
（2）设存在定点E（t，0）使得，设直线AB的方程为：x=my+2（m≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）用A，B的坐标分别表示出，代入，可求得λ的表达式，和联立方程消去x，利用韦达定理求得y1+y2和y1y2，代入（1）式进而求得t，确定E的坐标．
【解析】
（1）设点M的坐标为（x，y），相应的点P的坐标为（x，y），则x2+y2=3，
直线PQ的方程为：xx+yy=3，所以点Q的坐标为，
直线OP的方程为：，所以点N的坐标为，
因此：，
即：，
所以曲线C的方程为：
，
即；
（2）设存在定点E（t，0）使得，
设直线AB的方程为：x=my+2（m≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）
由得到-y1=λy2，
即，
，得到：，
即：（my1+2-t）y2+y1（my2+2-t）=0，
即2my1y2+（2-t）（y1+y2）=0（1）
由方程组：
得到：（my+2）2-3y2=3，
即（m2-3）y2+4my+1=0，
所以：m2-3≠0，且，
代入（1）式得到：，
要对满足（m≠0）且m2-3≠0的实数m恒成立，
只需要2+（t-2）×4=0，即，
所以存在定点使得．