Question

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）≥x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即x＜2和x≥2分别求解对应不等式的解集，再把所有的解集取并集表示出来．
（Ⅱ）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即a≤1、1＜a＜2和a≥2三种情况，分别求出解析式，利用二次函数的性质判断在区间上的单调性，再求最小值；最后用分段函数表示函数的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由题意，f（x）=x|x-a|．…（1分）
当x＜2时，f（x）=x（2-x）≥x，解得x∈[0，1]； …（2分）
当x≥2时，f（x）=x（x-2）≥x，解得x∈[3，+∞）； …（3分）
综上，所求解集为x∈[0，1]∪[3，+∞）； …（4分）
（Ⅱ）①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）=x2-ax=（x-）2-，其图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=，
∵a≤1，∴，
∴f（x）min=f（1）=1-a…（6分）
②当1＜a＜2时，在区间[1，2]上，f（x）=x|x-a|≥0，
f（x）min=0…（8分）
③当a≥2时，在区间[1，2]上，f（x）=-x2+ax=-（x-）2+，
其图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=，
1° 当1≤＜即2≤a＜3时，f（x）min=f（2）=2a-4…（10分）
2° 当即a≥3时，f（x）min=f（1）=1-a
∴综上，f（x）min=…（12分）