Question

已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，其渐近线方程是y=±x，双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

Answer

（1）设出双曲线方程，利用渐近线方程是y=±x，双曲线过点P（6，6），建立方程组，求出几何量，即可得到双曲线的方程；
（2）利用点差法，结合韦达定理求出直线方程，利用判别式进行验证，即可得到结论．
【解析】
（1）如图，设双曲线方程为…（1分）
由已知渐近线方程是y=±x，双曲线过点P（6，6），得…（3分）
解得…（5分）
所以所求双曲线方程为 …（6分）
（2）P、A1、A2的坐标依次为（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴其重心G的坐标为（2，2）…（8分）
假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，
设M（x1，y1），N（x2，y2）  则有x1+x2=4，y1+y2=4
∵，
∴两式相减可得，∴kl=…（10分）
∴l的方程为y=（x-2）+2（12分）
代入椭圆方程，消去y，整理得x2-4x+28=0 
∵△=16-4×28＜0，∴所求直线l不存在 …（14分）