Question

已知集合A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i至少一个属于A，
（1）分别判断集合M={0，2，4}与N=（1，2，3）是否具有性质P，并说明理由；
（2）①求证：0∈A；②当n=3时，集合A中元素a₁、a₂、a₃是否一定成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）对于集合A中元素a₁、a₂、…a_n，若a_n=2012，求数列{a_n}的前n项和S_n（用n表示）．

Answer

（1）根据题意分别把集合M和N中的元素代入：ai+aj与aj-ai进行验证，可判断是否具有性质P；
（2）①根据a1、a2、…an的大小关系和性质P，可得an+an=2an＞an，则an-an=0=a1∈A，
②由a1、a2、a3的大小关系和由性质P判断出：a1=a3-a3=0∈A，a3-a2=a2，即得2a2=a1+a3，故结论得证；
（3）由a1、a2、…an的关系和性质P，可求出元素a1、a2、…an的表达式，再代入所求的前n项和Sn进行化简得，代入an=2012求出Sn．
【解析】
（1）由题意得，
对于集合M：得2-0=2，4-2=2，4-0=4，0-0=2-2=4-4=0，
∵2，4，0∈M，∴集合具有性质P．
对于集合N：得2+2=4，2-2=0，
∵4，0∉N，∴集合N不具性质P，
（2）证明：①∵0≤a1＜a2＜…＜an，n∈N*，n≥3，
∴an+an=2an＞an，则an-an=0=a1∈A，
②当n=3时，集合A中元素a1，a2，a3一定成等差数列．
证明：当n=3时，0≤a1＜a2＜a3，
∴0≤a3-a3＜a3-a2＜a3-a1，
且a3+a3＞a3，∴a3+a3∉A，∴a3-a3=0∈A，∴a1=0∈A，
则a3+a2＞a3，∴a3+a2∉A，∴a3-a2∈A，
∴a3-a2=a2，即a3=2a2，又∵a1=0，∴2a2=a1+a3，
故a1，a2，a3成等差数列，
（3）由题意得，0≤a1＜a2＜…＜an，∴0≤an-an＜an-an-1＜…＜an-a1，
∴an+an-i＞an（i=1，2，…n-1），∴an-an-i∈A，
∴a1=an-an，a2=an-an-1，a3=an-an-2，…an=an-a1，
∴Sn=a1+a2+…+an=nan-（a1+a2+…+an），即Sn=nan-Sn，
则Sn===606n．