Question

已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x²-（4tanθ）x+1，
（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．
（2）当f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）时，g（x）在A上是单调递减函数，求θ的取值范围．
（3）当f（x）=m•sin（ωx+φ₁）时，（其中m∈R且m≠0，ω＞0），函数f（x）的图象关于点（，0）对称，又关于直线x=π成轴对称，试探讨ω应该满足的条件．

Answer

（1）由函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，可得 2sinxcosφ=0，故cosφ=0，由此可得φ 的值．
（2）化简 函数f（x）的解析式为 sin（2x+α）∈[-，]，A=[-，]．化简g（x）=+1-28tan2θ，由题意可知：2tanθ≥，tanθ≥，由此可得θ的取值范围．
（3）由条件得 （2n-1）=π-，再由n∈N*，（2n-1）=，可得ω=2n-1．由f（x）的图象关于点（，0）对称求得ωx+φ1 =kπ+，可得φ1 =kπ+．再由f（x）的图象关于直线x=π成轴对称，所以 sin（πω+φ1 ）=±1，可得 πφ+kπ+=k′π+，k′∈z，由此求得ω 满足的条件．
【解析】
（1）因为函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，所以，sin（x+φ）=sin（-x+φ），
化简为 2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+，k∈z…（4分）
（2）∵函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）=sin2x+2cos2x=sin（2x+α）∈[-，]，
其中，sinα=，cosα=，所以 A=[-，]…（8分）
g（x）=x2-（4tanθ）x+1=+1-28tan2θ，
由题意可知：2tanθ≥，tanθ≥，∴kπ+arctan≤θ≤kπ+，k∈z，
即θ的取值范围是[kπ+arctan，kπ+]，k∈z．（10分）
（3）由f（x）的图象关于点（，0）对称，又关于直线x=π成轴对称，故（2n-1）=π-．…（12分）
再由n∈N*，（2n-1）=，所以，ω=2n-1，①（14分）
由f（x）的图象关于点（，0）对称知道 sin（ω+φ1）=0，∴ωx+φ1 =kπ+，
∴（2n-1）+φ1 =kπ，k∈z，φ1 =kπ+．
又因为f（x）的图象关于直线x=π成轴对称，所以 sin（πω+φ1 ）=±1，
∴πφ+kπ+=k′π+，k′∈z，所以，ω=k，k∈N* ②．（16分）
由①②可知，ω=2n-1，n∈N*． （18分）