Question

已知函数f（x）=2ax++（2-a）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，若存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用导数求函数的极值：先求导数，令导数大于0，小于0求出相应的单调区间，然后即可得到函数的极值；
（2）先由参数范围得到函数在区间[1，3]上的单调性，进而得到函数在[1，3]上的最值，再由存在x1，x2∈[1，3]，使得|f（x1）-f（x2）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，及不等式恒成立的条件，就可得到参数m的取值范围．
【解析】
由题可知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），．--------（2分）
（Ⅰ） 当a=-1时，，
令f'（x）＜0，解得或x＞1；
令f'（x）＞0，解得，
所以f（x）的单调递减区间是和（1，+∞），单调递增区间是；--（5分）
所以当时，f（x）的极小值为；
当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=-1．--------------------（7分）
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，f（x）的单调递减区间是，，
单调递增区间是，
所以f（x）在[1，3]上单调递减，-----------------------------------（9分）
所以f（x）max=f（1）=2a+1，．
所以=．------------------------------------------（11分）
因为存在x1，x2∈[1，3]，使得|f（x1）-f（x2）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，
所以，----------------------（12分）
整理得．
又a＜0，所以，又因为-3＜a＜-2，得，
所以，所以．------------------------（15分）