Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点F到准线的距离为，过点A（x，0）（x≥）作直线l交抛物线C于点P，Q（点P在第一象限）．
（Ⅰ）若点A与焦点F重合，且弦长|PQ|=2，求直线l的方程；
（Ⅱ）若点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ，求证：点B的坐标是（-x，0），并求点B到直线l的距离d的取值范围．

Answer

（Ⅰ）确定抛物线的方程，设出直线方程与抛物线方程联立，利用弦长|PQ|=2，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量知识，证明B（-x，0），确定出x，或m的范围，表示出点B到直线l的距离d，即可求得取值范围．
（Ⅰ）【解析】
由题意可知，，故抛物线方程为y2=x，焦点．----（1分）
设直线l的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由消去x，得．
所以△=n2+1＞0，y1+y2=n．------------------------------------（3分）
因为，点A与焦点F重合，
所以．
所以n2=1，即n=±1．---------------------------------------------（5分）
所以直线l的方程为或，
即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0．-----------------------------------（6分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+x（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x2，-y2）．
由消去x，得y2-my-x=0，
因为，所以△=m2+4x＞0，y1+y2=m，y1y2=-x．-----------------------（7分）
方法一：
设B（xB，0），则．
由题意知，，所以x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2，
即．
显然y1+y2=m≠0，所以xB=y1y2=-x，即证B（-x，0）．--------------------------（9分）
由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以kPB=1，即，也即，
所以y1-y2=1，所以，
即m2+4x=1，所以m2=1-4x＞0，即
又因为，所以．-----------------------------------------（12分），
所以d的取值范围是．---------------------------------（15分）
方法二：
因为直线，
所以令y=0，则，
所以B（-x，0）．--------------------------------------------------（9分）
由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以kPB=1，即，
所以y1-y2=1，所以，即m2+4x=1，所以m2=1-4x＞0．
因为，所以．--------------------------------------（12分）
所以d的取值范围是．-----------------------------------（15分）