Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁+2x₁＜f（x₂）+2x₂）恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）a=1时，求出导数f′（x），则切线斜率为f′（1），易求f（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（2）易求f（x）的定义域是（0，+∞），解方程f′（x）=0可得x=或x=，按两根、的大小对a分类讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间；
（3）设g（x）=f（x）+2x=ax2-ax+lnx，由题意知，g（x）在（0，+∞）上单调递增，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分a=0、a≠0两种情况讨论，转化为函数最值即可；
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x2-3x+lnx，f′（x）=2x-3+，
因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程是y=-2；
（2）函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-（a+2）+=（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）===0，
所以x=或x=，
①当a＞2时，令f′（x）＞0得，x＞或0＜x＜，f′（x）＜0得x＜，
②当a=2时，f′（x）≥0恒成立，
③当0＜a＜2时，令f′（x）＞0得，x＞或0＜x＜，f′（x）＜0得＜x＜，
④a＜0时，令f′（x）＞0得0＜x＜，f′（x）＜0得x＞，
所以当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，），（，+∞）单调减区间为（）；
当a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（）上单调递减；
当a≤0时，f（x）在（0，）上单调递增，（）上单调递减．
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可，
而g′（x）=2ax-a+=，
当a=0时，g′（x）=＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax2-ax+1≥0，
则需要a＞0，
对于函数y=2ax2-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=＞0，只需△=a2-8a≤0，即0＜a≤8，
综上，0≤a≤8．