Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，=，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出P点坐标，由|OP|=得关系式，再由得关系式，两式联立求出c，再由离心率求得a，结合b2=a2-c2求出b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和，由中点坐标公式求出A，B的中点，若否存在直线l，使得△QAB为等腰三角形，则AB中点与Q的连线与AB垂直，由斜率之积等于-1列式求k的值，此时得到了矛盾式子，说明使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
【解析】
（1）设P（x，y），∵，∴①
又，∴，即②
①代入②得：．又e=，∴a=2，b=1．
故所求椭圆方程为；
（2）直线l的方程为，
联立，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0．
，．
设AB的中点M（x，y），
则，．
所以．
若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，
即，此式无解，
所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．