Question

（不等式选讲）若实数a，b，c满足a²+b²+c²=4，则3a+4b+5c的最大值为    ．

Answer

首先分析题目已知a2+b2+c2=4，求3a+4b+5c的最大值，考虑到柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2的应用，构造出柯西不等式求出（3a+4b+5c）2的最大值开方即可得到答案．
【解析】
因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=4根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2
故有（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2
故（3a+4b+5c）2≤200，即3a+4b+5c≤10
即2a+b+2c的最大值为10．
故答案为：10．