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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,棱PD⊥底面ABCD,PD=DC...

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)证明:平面BDE⊥平面PBC.

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(1)连结AC,设AC与BD交于O点,连结EO,易证EO为△PAC的中位线,从而OE∥PA,再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE; (2)依题意,易证DE⊥底面PBC,再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC. 证明:(1)连结AC,设AC与BD交于O点,连结EO. ∵底面ABCD是正方形, ∴O为AC的中点,又E为PC的中点, ∴OE∥PA, ∵OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE, ∴PA∥平面BDE.…(6分) (2)∵PD=DC,E是PC的中点, ∴DE⊥PC. ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥AD.又由于AD⊥CD,PD∩CD=D,故AD⊥底面PCD, 所以有AD⊥DE.又由题意得AD∥BC,故BC⊥DE. 于是,由BC∩PC=C,DE⊥PC,BC⊥DE可得DE⊥底面PBC. 故可得平面BDE⊥平面PBC.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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