Question

在数列{a_n}中，，且对任意的n∈N₊都有．
（Ⅰ）求证：是等比数列；
（Ⅱ）若对于任意n∈N₊都有a_n+1＜pa_n，求实数P的取值范围．

Answer

（Ⅰ）直接利用可得；再求出首项不为0即可证：是等比数列；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出数列{an}的通项，代入an+1＜pan把其整理为p＞1+，再利用函数的单调性求出不等式右边的取值范围即可得出实数P的取值范围．
【解析】

（Ⅰ）证明：由，得．
又由，得．
∴是以为首项，以为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得．
即．
∵an+1＜pan（n∈N+），
∴
显然，当n=1时，值最大，且最大值为．
∴实数p的取值范围为．