Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．
（1）求直线ON的斜率k_ON；
（2）对于椭圆C上的任意一点M，设（λ∈R，μ∈R），求证：λ²+μ²=1．

Answer

（1）利用椭圆的离心率，化简椭圆的方程，设出AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，中点坐标公式及斜率公式，即可求斜率；
（2）确定坐标之间的关系，利用M，A，B在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论．
（1）【解析】
设椭圆的焦距为2c，
因为，所以有，故有a2=3b2．
从而椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2                                        ①
∴右焦点F的坐标为（，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y=x-．②
由①，②有：．③
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x，y），由③及韦达定理有：，
所以，即为所求．…（6分）
（2）证明：显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．
设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
故x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．…（8分）
又因为点M在椭圆C上，所以有
整理可得：++2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．④
由③有：，．
所以x1x2+3y1y2=3b2-9b2+6b2=0   ⑤
又点A，B在椭圆C上，故有==3b2．⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ2+μ2=1．…（13分）