Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=时，判断方程f（x）=-的实数根的个数，并说明理由．

Answer

（1）题目中条件：“在R上有两个极值点”，即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的实根的分布问题，利用二次函数的图象令判别式大于0在-1处的函数值大于0即可．
（2）由a=可知x1=-，x2=-，从而知函数f（x）在（-1，-）上单调递增，在（-，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增．下面分别讨论函数f（x）在（-1，-]和在（-，-）上实根的情况，即可证得方程f（x）=-有且只有一个实数根．
【解析】
（1）由题意，1+x＞0
由f（x）=x2+aln（x+1）可得f′（x）=2x+=．
∵f（x）=ax3+x恰有有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等根，
即2x2+2x+a=0的两个均大于-1的不相等的实数根，其充要条件为，
解得0＜a＜；

（2）由a=可知x1=-，x2=-，从而知函数f（x）在（-1，-）上单调递增，在（-，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增．
①由f（x）在（-1，-]上连续、单调递增，且
f（-）=（-）2+ln（-+1）=-ln2＞-，
以及f（-1+）=（-1+）2+ln（）=--+＜-，故方程f（x）=-
在（-1，-]有且只有一个实根；
②由于f（x）在（-，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增，因此f（x）在（-，+∞）上的最小值，
f（-）=（-）2+ln（-+1）=-+ln＞-，故方程f（x）=-在（-，+∞）没有实数根．
综上可知，方程f（x）=-有且只有一个实数根．