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设函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个极值点x1,x2,且x1<x2. (...

设函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个极值点x1,x2,且x1<x2
(1)求实数a的取值范围;
(2)当a=manfen5.com 满分网时,判断方程f(x)=-manfen5.com 满分网的实数根的个数,并说明理由.
(1)题目中条件:“在R上有两个极值点”,即导函数有两个零点.从而转化为二次函数f′(x)=0的实根的分布问题,利用二次函数的图象令判别式大于0在-1处的函数值大于0即可. (2)由a=可知x1=-,x2=-,从而知函数f(x)在(-1,-)上单调递增,在(-,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增.下面分别讨论函数f(x)在(-1,-]和在(-,-)上实根的情况,即可证得方程f(x)=-有且只有一个实数根. 【解析】 (1)由题意,1+x>0 由f(x)=x2+aln(x+1)可得f′(x)=2x+=. ∵f(x)=ax3+x恰有有两个极值点, ∴方程f′(x)=0必有两个不等根, 即2x2+2x+a=0的两个均大于-1的不相等的实数根,其充要条件为, 解得0<a<; (2)由a=可知x1=-,x2=-,从而知函数f(x)在(-1,-)上单调递增,在(-,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增. ①由f(x)在(-1,-]上连续、单调递增,且 f(-)=(-)2+ln(-+1)=-ln2>-, 以及f(-1+)=(-1+)2+ln()=--+<-,故方程f(x)=- 在(-1,-]有且只有一个实根; ②由于f(x)在(-,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,因此f(x)在(-,+∞)上的最小值, f(-)=(-)2+ln(-+1)=-+ln>-,故方程f(x)=-在(-,+∞)没有实数根. 综上可知,方程f(x)=-有且只有一个实数根.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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