Question

设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为    ．

Answer

首先利用复数莫得公式求模，然后利用三角函数进行化简，由|z|≤2得到不等式，然后根据a的符号把该不等式分类转化为不含三角函数的不等式，求解后对a取并集即可得到答案．
【解析】
由z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i，
所以
=
=
=（tanα=2）．
因为|z|≤2，
所以．
若a=0，此式显然成立，
若a＞0，由，
得，解得．
若a＜0，由，
得，解得．
所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为．
故答案为．