Question

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．

Answer

（1）分类求出MN在矩形区域、三角形区域滑动时，△EMN的面积，可得分段函数；
（2）分类求出△EMN的面积的最值，比较其大小，即可得到最值．
【解析】
（1）①如图1所示，当MN在正方形区域滑动，
即0＜x≤2时，△EMN的面积S==x；（2分）
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即2＜x＜时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴，即．（5分）
故△EMN的面积S==； （7分）
综合可得：（8分）
说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可．
（2）①当MN在正方形区域滑动时，S=x，所以有0＜S≤2；（10分）
②当MN在三角形区域滑动时，S=．
因而，当（米），S在上递减，无最大值，0＜S＜2．
所以当x=2时，S有最大值，最大值为2平方米．（14分）