Question

已知f（x）=，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，求实数a的取值范围；
（3）设，函数F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域为，求实数a，b的值．

Answer

（1）根据点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动可得y=log2x，点N（x-2，ny）函数y=gn（x）的图象上运动可得 gn（x-2）=ny故 gn（x-2）=nlog2x（x＞0）再用x+2代x即可求出y=gn（x）的表达式．
（2）由（1）可得要使关于x的方程 g1（x）=g2（x-2+a）有实根，a∈R，可得：（x+2）2=x+a在x＞-2有实根即a=（x+2）2-x在x＞-2有实根即只需求出（x+2）2-x在x＞-2的范围即为a的范围．
（3）由（1）可得F（x）=+log（x+2）（x＞-2）再根据） 和log（x+2）的单调性得出F（x）的单调性，从而可求出F（x）在[a．b]的值域再利用值域为可列出等式求出a，b的值．
【解析】
（1）由，
得，
所以，（x＞-2）．（4分）
（2），
即（x+2＞0）（6分）
，令，
所以，
当时，．
即实数a的取值范围是（10分）
（3）因为，
所以．F（x）在（-2，+∞）上是减函数．（12分）
所以
即，
所以（16分）