Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是侧面AA₁B₁B对角线的交点，F是侧面AA₁C₁C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面AEF⊥平面A₁AD．

Answer

（1）连接A1B和A1C，易证EF∥BC，利用线面平行的判断定理即可证得EF∥平面ABC；
（2）依题意，可证EF⊥AA1，EF⊥AD，而AA1∩AD=A，从而可证得EF⊥平面A1AD，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEF⊥平面A1AD．
【解析】
（1）连接A1B和A1C，因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C对角线的交点，
所以E、F分别是A1B1B和A1C的中点．
所以EF∥BC…3分
又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
故EF∥平面ABC；…6分
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，
∴BC⊥AA1，又EF∥BC，
∴EF⊥AA1…8分
又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD．
由EF∥BC得EF⊥AD…10分
而AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，所以EF⊥平面A1AD，…12分
又EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD…14分